内容

(标题)

两个重要极限

_课时

1学时

教学目的及要求

教学目的：

1. 熟悉两个重要极限，了解他们的证明思路

2. 掌握两个重要极限的使用方法

具体要求：

1. 知识目标：熟悉两个重要极限的条件和结论

2. 技能目标：掌握利用两个重要极限求极限的一般方法

3. 素养目标：体会重点与一般的关系，培养“抓重点”，“揭本质”的思维习惯

重点难点及其处理

重点

两个重要极限；

两个重要极限的应用

难点

两个重要极限的证明

教学方法

采用“提纲式”或“问答式”讲授，启发诱导；

多讲解习题巩固新知识，讲练结合

教学过程

两个重要极限

一、重要极限Ⅰ

证明：在单位圆内，设圆心角 ∠AOB   ,,过A点作圆的切线交OB的延长线于D，BC⊥OA.由图可知，

 ⊿AOB的面积 < 扇形AOB的面积 <⊿AOD的面积

而  ⊿AOB的面积 ，扇形AOB的面积，⊿AOD的面积 于是

既有

因此，                 

于是，由夹逼定理得

又由于都是偶函数，且时，，故有

因左右极限均存在且相等，故有

教学过程

注意：当时，，所以，这个重要极限是型的未定式极限.

该极限也可表示为:.                      

其中表示自变量的函数，并且在自变量过程中，.（表示某个确定的极限过程，下同．）

例1. 求。

解：

例2. 求。

解：

例3.求。

解：

例4.求。

解：

教学过程

二、重要极限Ⅱ

证明思路：对于数列，由于它单调递增且有界，则它一定收敛，记的极限为e，即

可以证明，是一个无理数，且

对于，令，则有，当时，

又由于

当时，有，由夹逼定理得，

对于，令，则时，，于是有

综上可得

教学过程

注：1若令，则时，于是

2该极限属于型的未定式极限；也可以表示成如下形式

，                               

其中当时，；或

，                             

其中当时，.

这个重要极限应灵活的记为:“以1加非零无穷小为底,指数是无穷小的倒数,其极限为数e”.

例5.。

解：

例6.求。

解：

例7.求。

解：

例8.求。

解：==

例9.

教学过程

解：

课堂练习：。

解： 则时，

三、小结

两个重要极限

参考文献

1.《微积分》，龚德恩等，四川人民出版社,1999年。

2.《微积分》.  李天胜主编.  电子科技大学出版社，2002年8月版

3.《微积分同步练习与模拟试题》（配套练习）

课外作业

课后习题

后记